Círculos y Circunferencias: Posiciones relativas de dos circunferencias

Cuando dos circunferencias, se encuentran en el plano en varias posiciones de tal forma relativas, llegando a formar unas series de propiedades.

NINGÚN PUNTO EN COMÚN

Exteriores

Si no tienen puntos comunes y la distancia que hay entre sus centros es mayor o igual que la suma de sus radios. Sin importa que tengan igual o distinto radio.

Circunferencias exteriores iguales Circunferencias exteriores iguales

La distancia entre los centros

es igual que la suma de sus Radios.
La distancia entre los

centros es mayor que

la suma de las radios.

Interiores

La distancia entre los centros es menor que la diferencia de los radios.

Concéntricas

Los centros coinciden.

UN PUNTO EN COMÚN

Tangentes exteriores

Si tienen un punto común y todos los demás puntos de una son exteriores a la otra. La distancia que hay entre sus centros es igual a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio.

Tangentes interiores

La distancia entre los centros es igual a la diferencia de los radios.

DOS PUNTOS EN COMÚN

Interior

Su distancia al centro es menor que el radio.

Punto sobre la circunferencia

Su distancia al centro es igual que el radio.

Punto exterior a la circunferencia

Su distancia al centro es mayor que el radio.

Secantes

La distancia entre los centros es mayor que la diferencia de los radios.

EJERCICIOS

Si: AD = DB

Demostrar que OAE = OEB, si son iguales porque al formar un triángulo en los puntos mencionados se generan unos ángulos de medición iguales en cada triángulo.

Demostración:

Historia del circulo y circunferencia.

Desde la más remota antigüedad, la relación entre la longitud del contorno de un círculo y su diámetro fue una preocupaciónde filósofos y matemáticos. Ese dato, muy importante en todos los cálculos astronómicos, para la construcción de objetos o la delimitación de parcelas circulares de tierra, era un enigma. Si bien erasabido que la razón entre la circunferencia y el diámetro de un círculo es una constante para todas las figuras circulares, cada vez que la calculaban obtenían como resultado un número que no conocían;no era un número entero. El Papiro Egipcio de Rhind, que data del 1650 a.C., muestra que los egipcios le atribuían a ese número el valor 3,16 y en la Biblia figura con valor de 3. La aparición de las calculadoras en el siglo XX revolucionó el conocimiento acerca de ese número. En esta unidad vas a explorar esa relación y su valor enigmático.
Historia de Pi: La constante matemática pi(3.14159...), ese misterioso número que en el colegio se nos aparece hasta en la sopa, describe la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Fue bautizada así por lo griegos ya que pi es la primera letra de la palabra perímetro en griego y con ese nombre ha llegado hasta nosotros (aunque es conocida desde tiempos más remotos). Muy probablemente pi sea el número más famoso y estudiado en la historia de las matemáticas. Un versículo poco conocido de la Biblia dice:
Hizo una fuente de metal fundido que medía 10 codos de diámetro: era completamente redonda, y su altura era de 5 codos y una línea de 30 codos lo rodeaba. (I Reyes 7, 23)
El mismo versículo puede encontrarse en II Crónicas 4, 2. Aquí aparece en una lista de especificaciones para el gran templo de Salomón, construido sobre el 950 a. C. y su interés aquí radica en que da un valor de π = 3. No es un valor muy preciso, desde luego, e incluso no muy preciso para su época, lo egipcios y mesopotámicos habían dado valores.

Grandes matemáticos y personalidades que aportaron al círculo y la circunferencia

Arquímedes de Siracusa

c. 287 a. C. probablemente en Siracusa, Sicilia
212 a. C. también en Sicilia

Arquímedes fue un matemático, físico e ingeniero griego, considerado el más importante de los matemáticos de la antigüedad. Demostró que la circunferencia de un círculo mantiene la misma relación respecto de su diámetro que la superficie del círculo respecto del cuadrado del radio. La relación se denomina hoy en día con el número pi (π). Además calculó la superficie bajo una parábola. El principio de Arquímedes se llama así en su honor.

Euclides de Alejandría

c. 365 a. C. probablemente en Alejandría o Atenas
c. 300 a. C

Euclides intentó establecer la matemática, y especialmente la geometría, sobre fundamentos axiomáticos. En su manual de 13 volúmenes «Los Elementos» resumió el conocimiento matemático de aquel entonces. La geometría euclidiana o Euclides y el algoritmo de Euclides son conceptos que se denominan así en su honor.

Pitágoras de Samos

c. 570 a. C.
después de 510 a. C.

Pitágoras de Samos fue matemático, filósofo y fundador de la agrupación secreta de los pitagóricos. El teorema de Pitágoras, llamado así por Euclides, ya era conocido con mucha anterioridad a Pitágoras.

Al-Battani entre 850 y 869 en Harrán
929 en Schloss Dschaß

Al-Battani es considerado un gran matemático y astrónomo de la edad media islámica. Transmitió al mundo árabe los fundamentos de la matemática hindú y el concepto de cero. Pero, sobre todo, el mérito de Al-Battanis gira en torno a la trigonometría; fue el primero en utilizar el seno en lugar de las cuerdas. Halló y demostró por primera vez el teorema del seno, así como el hecho de que la tangente representa la relación entre el seno y el coseno.

Luca Pacioli

ca. 1450 en Borgo del Santo Sepolcro, región de la Toscana
ca. 1510 en Florencia

Luca Pacioli fue un matemático italiano y monje franciscano. Su principal obra Summa de arithmetica geometria, proporzioni e proporzionalita se publicó en 1494 y está dividida en dos partes: la primera trata de aritmética y álgebra, principalmente describe reglas de las cuatro operaciones básicas y un método para extracción de raíces. Su contribución más conocida, sin embargo, es la sistematización de diversos temas de la matemática aplicada al comercio y de contabilidad (principalmente el método de partida doble), a lo que destina amplios capítulos de esta importante obra. La segunda parte está dedicada a temas de geometría. Se le atribuye gran importancia histórica por ser este el primer libro impreso de matemáticas y con ello, la primera sistematización de la aritmética el álgebra y la geometría que alcanza una muy amplia difusión.^[^10] Alrededor del año 1500 Pacioli escribió también una obra sobre el ajedrez: De ludo scacchorum. Supuestamente este libro fue redactado en conjunto con Leonardo da Vinci. Este manuscrito, que estuvo desaparecido durante siglos, fue reencontrado en 2006 y se conserva en la biblioteca de la Fundación Palacio Coronini.

Gaspard Monge

10 de mayo de 1746 en Beaune
28 de julio de 1818 en París

Gaspard Monge fue un matemático y físico francés. Participó en la revolución francesa y en 1792 en la República desempeñó un pepel político importante. Monge es fundador de la École polytechnique de París y en la matemática se ganó un puesto meritorio a través de la introducción de la geometría descriptiva.

Adrien-Marie Legendre

18 de septiembre de 1752 en París
10 de enero de 1833 también en París

Adrien-Marie Legendre fue un matemático francés. Trabajó en las integrales elípticas y desarrolló investigaciones acerca de las esferoides elípticas. Independientemente de Carl Friedrich Gauss descubrió en 1806 el método de mínimos cuadrados. Legendre presentó una demostración inmediata de la irracionalidad de π al demostrar que π² es irracional. Entre otros, el polinomio de Legendre lleva su nombre, como asimismo la transformada de Legendre y el símbolo de Legendre para los residuos cuadráticos (o en su defecto, los no-residuos) en la teoría de números.

Carl Friedrich Gauss

30 de abril de 1777 en Braunschweig
23 de febrero de 1855 en Gotinga

Carl Friedrich Gauss, fue un matemático, astrónono, geodésico y físico alemán. Gauss es considerado uno de los más grandes matemáticos de la historia y fue honrado por sus meritorios trabajos científicos ya en tiempos de vida. Se dedicó a casi todos los campos de la matemática y reconoció muy tempranamente la utilidad de los números complejos. Aún siendo muy joven descubrió la posibilidad de construcción del heptadecágono regular con una regla y un compás. Una gran cantidad de procedimientos, conceptos y teoremas llevan su nombre, como por ejemplo el método de eliminación gaussiana y los enteros gaussianos. El Premio Carl Friedrich Gauss, denominado así en su honor, se otorga cada cuatro años a matemáticos destacados por trabajos en el área de la matemática aplicada.

Curiosidades

"La naturaleza se reduce a un número: . Quien descubra el misterio de , comprenderá el pensamiento de Dios..."
Isaac Newton

"El rostro de  estaba enmascarado; se sobreentendía que nadie podía contemplarlo y continuar con vida. Pero unos ojos de penetrante mirada acechaban tras la máscara, inexorables, fríos y enigmáticos."
Bertrand Russell, Pesadillas de personas ilustres

"El matrimonio es un poco como el número : natural, irracional y muy importante"
Lisa Hoffman

Si en este poema cuentas las letras de cada palabra tendrás las primeras veinte cifras de

Soy y seré a todos definible,
mi nombre tengo que daros,
cociente diametral siempre inmedible
soy de los redondos aros.

Esta otra frase nos da las diez primeras cifras decimales de

Con 1 hilo y 5 mariposas
se pueden hacer mil cosas.

El Número Pi
(Poema de Wislawa Szymborska)
Digno de admiración es el número Pi
tres coma catorce,
Todas sus siguientes cifras también son iniciales,
quince noventa y dos porque nunca termina.
No se deja abarcar sesenta y cinco treinta y cinco con la mirada,
ochenta y nueve con los cálculos
setenta y nueve con la imaginación
y ni siquiera treinta y dos treinta y ocho con una broma o sea comparación
cuarenta y seis con nada
veintiséis cuarenta y tres en el mundo.
La serpiente más larga de la tierra después de muchos metros se acaba.
Lo mismo hacen aunque un poco después las serpientes de las fábulas.
La comparsa de cifras que forma el número Pi
no se detiene en el borde de una hoja,
es capaz de continuar por la mesa, el aire,
la pared, la hoja de un árbol, un nido, las nubes, y así hasta el cielo,
a través de toda esa hinchazón e inconmensurabilidad celestiales.
Oh, qué corto, francamente rabicorto es el cometa.
¡En cualquier espacio se curva el débil rayo de una estrella!
Y aquí dos treinta y uno cincuenta y tres diecinueve
mi número de teléfono el número de tus zapatos
el año mil novecientos setenta y tres piso sexto
el número de habitantes sesenta y cinco céntimos
centímetros de cadera dos dedos charada y mensaje cifrado,
en la cual ruiseñor que vas a Francia
y se ruega mantener la calma
y también pasarán la tierra y el cielo,
pero no el número Pi, de eso ni hablar,
seguirá sin cesar con un cinco en bastante buen estado,
y un ocho, pero nunca uno cualquiera,
y un siete, que nunca será el último,
y metiéndole prisa, eso sí, metiéndole prisa a la perezosa eternidad para que continúe.

Con sólo unos 40 decimales del número pi se podría calcular la longitud de una circunferencia que abarcara a todo el universo visible, con un error menor que el radio de un átomo de hidrógeno. ¿Para qué calcular entonces tantos y tantos decimales?

Si tomamos dos números enteros positivos al azar, la probabilidad de que sean coprimos (no tengan factores comunes) es 6 /².